【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图$1$所示图形,其中四边形$ABED$和四边形$CFGH$都是正方形,巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长$a$,$b$,$c$之间的一个重要结论:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

$(1)$请你将数学家赵爽的说理过程补充完整:
已知:$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$BC=a$,$AC=b$,$AB=c$.
求证:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
证明:由图可知$S_{正方形ABED}=4S_{\triangle ABC}+S_{正方形CFGH}$,
$\because {S}_{正方形ABED}={c}^{2}$,$S_{\triangle ABC}=$______,
正方形$CFGH$边长为______,
$\therefore {c}^{2}=4×\frac{1}{2}ab+(a-b)^{2}=2ab+{a}^{2}-2ab+{b}^{2}$,
即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
【深入思考】
如图$2$,在$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$BC=a$,$AC=b$,$AB=c$,以$AB$为直角边在$AB$的右侧作等腰直角$\triangle ABD$,其中$AB=BD$,$\angle ABD=90^{\circ}$,过点$D$作$DE\bot CB$,垂足为点$E$.
$(2)$求证:$DE=a$,$BE=b$；
$(3)$请你用两种不同的方法表示梯形$ACED$的面积,并证明:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$；
【实际应用】
$(4)$将图$1$中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度,得到图$3$所示的"数学风车",若$a=12$,$b=9$,"数学风车"外围轮廓（图中实线部分）的总长度为$108$,求这个风车图案的面积.