如图$\left(1\right)$,是两个全等的直角三角形（直角边分别为$a$,$b$,斜边为$c)$

$(1)$用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形,利用这个图形,证明:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$；
$(2)$用这样的两个三角形可以拼出多种四边形,画出周长最大的四边形；当$a=2$,$b=4$时,求这个四边形的周长；
$(3)$当$a=1$,$b=2$时,将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中（如图$\left(3\right))$,使直角顶点与原点重合,两直角边$a$,$b$分别与$x$轴、$y$轴重合.
①请在$x$轴、$y$轴上找一点$C$,使$\triangle ABC$为等腰三角形；（要求:用尺规画出所有符合条件的点,并用$C_{1}$,$C_{2}$,$\ldots$,$C_{n}$在图中标出所找的点.只保留作图痕迹,不写作法）
②写出一个满足条件的在$x$轴上的点的坐标:______,写出一个满足条件的在$y$轴上的点坐标:______.