在二次根式中,有些根式相乘,其结果是实数.
如$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1$,$(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})=3$,它们的积不含根号,我们说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式,于是,二次根式除法可以这样解:如$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=7+4\sqrt{3}$.
像这样,通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化.
$(1)$解决问题:$\frac{1}{\sqrt{2}}$分母有理化,得______,$3-\sqrt{5}$的有理化因式是______；
$(2)$计算:$\frac{1}{2-\sqrt{3}}+\sqrt{12}-9\sqrt{\frac{1}{3}}$；
$(3)$化简:$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+⋯⋯+\frac{1}{\sqrt{2023}+\sqrt{2021}}-\frac{\sqrt{2023}}{2}$.