如图,$AB=BC$,$\angle ABC=90^{\circ}$,点$P$在射线$AB$上,且$\angle CEP=90^{\circ}$,点$F$在$EP$上且$EF=EC$,连接$AF$,取$AF$的中点$G$,连接$EG$并延长至$H$,使$GH=GE$,连接$AH$.
$(1)$如图$1$,当点$P$在线段$AB$上时,
①用等式表示$AH$与$CE$的数量关系；
②连接$BH$,$BE$,直接写出$BH$,$BE$的数量关系和位置关系；
$(2)$如图$2$,当点$P$在线段$AB$的延长线上时,依题意补全图形$2$,猜想②中的结论是否还成立,并证明.