小丽看到课本《因式分解》一章中的"读一读"写到:利用多项式的乘法法则,可以得到$\left(x+a\right)\left(x+b\right)=x^{2}+\left(a+b\right)x+ab$,反过来,则有$x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right)$.智慧的小丽受"读一读"的启发,运用该方法解出了方程$x^{2}+5x+6=0$的解,小丽的解法如下:
因为,$\left(x+2\right)\left(x+3\right)=x^{2}+5x+6$,
又因为,$x^{2}+5x+6=0$,
所以,$\left(x+2\right)\left(x+3\right)=0$,
所以,$x+2=0$,或$x+3=0$,
所以,$x=-2$,或$x=-3$,
所以,原方程的解为$x_{1}=-2$,$x_{2}=-3$.
应用上面小丽的方法解决下列问题:
$(1)$解方程:$x+\frac{3}{x}=4$；
$(2)$解关于$x$的方程:$x+\frac{ab}{x}=a+b(a$,$b$是常数,且都不为零）；
$(3)$若关于$x$的方程$x-\frac{2{k}^{2}+5k+3}{x-4}=k+6$的两个解分别为$x_{1}$,$x_{2}($其中$k \gt 0$,$x_{1} \gt x_{2})$,请求$\frac{{x}_{1}-7}{{x}_{2}-3}$的值.