在如图方格纸中,$\triangle OAB$的顶点坐标分别为$O\left(0,0\right)$,$A\left(-2,-1\right)$,$B\left(-1,-3\right)$,$\triangle O_{1}A_{1}B_{1}$与$\triangle OAB$是关于点$P$为位似中心的位似图形.
$(1)$在图中标出位似中心$P$的位置,直接写出点$P$的坐标______；
$(2)$以$O$为位似中心,在位似中心的同侧画出$\triangle OAB$的一个位似$\triangle OA_{2}B_{2}$,使它与$\triangle OAB$的位似比为$2:1$；
$(3)$在$\triangle OAB$的内部取一点$M\left(m,n\right)$,则点$M$在$\triangle OA_{2}B_{2}$中的对应点$M_{2}$的坐标为______；
$(4)$判断$\triangle OA_{2}B_{2}$能否看作是由$\triangle O_{1}A_{1}B_{1}$经过某种变换后得到的图形,若是,请直接写出图形变换过程；否则,说明理由.