【问题提出】
$(1)$如图$1$,在正方形$ABCD$中,$AC$,$BD$是对角线,点$E$在$AB$边上,点$F$在对角线$AC$上,$\angle EDF=45^{\circ}$,求证:$BE=\sqrt{2}CF$.
【尝试应用】
$(2)$如图$2$,在矩形$ABCD$中,$AB=3$,$AD=4$,点$E$在$AB$边上,点$F$在对角线$AC$上,$\angle EDF=\angle ACD$,$AE=1$,求$CF$的长.
【拓展提高】
$(3)$如图$3$,在菱形$ABCD$中,$AB=5$,$AC=6$,点$E$在$AB$边上,点$F$在对角线$AC$上,$\angle EDF=\frac{1}{2}\angle ADC$,$CF=1$,作$BH\bot AD$交$DA$的延长线于点$H$,$DE$的延长线交$BH$于点$P$,请直接写出$BP$,$BE$的长.