如图,抛物线顶点坐标为点$C\left(1,4\right)$,交$x$轴于点$A\left(3,0\right)$,交$y$轴于点$B$.
$(1)$直接写出抛物线和直线$AB$的解析式；
$(2)$点$P$为线段$AB$上,过点$P$作$y$轴的平行线交抛物线于点$Q$.
①求线段$PQ$长的最大值及$P$点坐标；
②当$PQ$长度最大时,$x$轴上是否存在一点$E$,使得$\triangle BPE$的周长最小?若存在,求出$E$点坐标；若不存在,请说明理由.