某超市为了销售一种新型饮料,对月销售情况作了如下调查,结果发现每月销售量$y(瓶)$与销售单价$x($元）满足一次函数关系.所调查的部分数据如表:（已知每瓶进价为$4$元,每瓶利润$=$销售单价$-$进价）

单价$x(元)$	$5$	$6$	$7$	$\ldots$
销售量$y(瓶)$	$150$	$140$	$130$	$\ldots$

$(1)$求$y$关于$x$的函数表达式.
$(2)$该新型饮料每月的总利润为$w(元)$,求$w$关于$x$的函数表达式,并指出单价为多少元时利润最大,最大利润是多少元?
$(3)$由于该新型饮料市场需求量较大,厂家进行了提价.此时超市发现进价提高了$a$元,每月销售量与销售单价仍满足第（1）问函数关系,当销售单价不超过$14$元时,利润随着$x$的增大而增大,求$a$的最小值.