如图$1$,点$A$、$D$在$y$轴正半轴上,点$B$、$C$分别在$x$轴上,$CD$平分$\angle ACB$与$y$轴交于$D$点,$\angle CAO=90^{\circ}-\angle BDO$.

$(1)$求证:$AC=BC$；
$(2)$如图$2$,点$C$的坐标为$\left(4,0\right)$,点$E$为$AC$上一点,且$\angle DEA=\angle DBO$,求$BC+EC$的长.