在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle ABC=30^{\circ}$,$\triangle BDE$是等边三角形,连接$CD$、$AE$.
$(1)$如图$1$,当$A$、$B$、$D$三点在同一直线上时,$AE$、$BC$交于点$P$,且$AE\bot AC$.若$PC=4$,求$PE$的长；
$(2)$如图$2$,当$B$、$E$、$C$三点在同一直线上时,$F$是$CD$中点,连接$AF$、$EF$,求证:$AE=2AF$.