如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为$12$米的住房墙,另外三边用$25$米长的建筑材料围成的,为了方便进出,在垂直于住房墙的一边留一扇$1$米宽的门.当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时,猪舍面积为$80$平方米?
$(1)$如图,设猪舍与墙垂直的一边$AD$长为$x$米,则$AB=$______(用含$x$的式子表示）；
$(2)$当$x$为多少时,猪舍面积为$80$平方米?