仔细阅读下面的例题,解答问题:
例:已知二次三项式$x^{2}-4x+m$有一个因式是$x+3$,求另一个因式以及$m$的值.
解:设另一个因式为$x+n$,得
$x^{2}-4x+m=\left(x+3\right)\left(x+n\right)$
则$x^{2}-4x+m=x^{2}+\left(n+3\right)x+3n$,
$\therefore \left\{\begin{array}{l}n+3=-4,\\ 3n=m.\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}n=-7,\\ m=-21.\end{array}\right.$
$\therefore$另一个因式为$x-7$,$m$的值为$-21$.
$(1)$已知二次三项式$2x^{2}-5x+k$有一个因式是$2x-3$,求另一个因式以及$k$的值；
$(2)$若二次三项式$x^{2}-5x+6$可分解为$\left(x-2\right)\left(x+a\right)$,求$a$的值；
$(3)$若二次三项式$2x^{2}+bx-5$可分解为$\left(2x-1\right)\left(x+5\right)$,求$b$的值.