操作体验:数学活动《折纸与证明》中,有这样一段活动材料:
③$\vee$
①如图$1-$①,把正方形$ABCD$对折后再展开,折痕为$EF$；
②如图$1-$②,将点$A$翻折到$EF$上的点${A\’}$处,且使折痕过点$B$；
③如图$1-$③,沿${A\’}C$折叠,得$\triangle {A\’}BC($如图$1-$④).
$(1)$根据以上操作,结合图$2$试证明$\triangle {A\’}BC$是等边三角形；
初步探究:
$(2)$将$AB$沿$BE$翻折到$BP$位置,延长$EP$交$CD$于点$Q$,如图$3$,求证:点$Q$是$CD$的三等分点.
深入探究:
$(3)$如图$4$,点$M$在$AB$上移动,将$BC$沿$CM$翻折到点${B\’}$,连接$CM$、$DB\’$并延长交于点$H$,$N$是$DB\’$的中点,连接$CN$,$AH$,请直接写出$HA$、$HC$、$HD$之间的等量关系______.