定义:在平面直角坐标系中,将直线$l_{1}$:$y=ax+b\left(ab\neq 0\right)$中$a$和$b$的值都扩大到原来的$k\left(k \gt 0\right)$倍,得到新的直线$l_{2}$,则称直线$l_{2}$为直线$l_{1}$的"$k$倍伴随线",例如直线$y=4x+3$的"$2$倍伴随线"的函数解析式为$y=8x+6$.
$(1)$求直线$y=2x+3$的"$3$倍伴随线"的函数表达式；
$(2)$若点$\left(m,-10\right)$在直线$y=x-6$的"$2$倍伴随线"上,求$m$的值.