勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力,图$1$中的$2$个全等的直角三角形可以拼成不同的图形,用来证明勾股定理.

$(1)$把两个全等的直角$\triangle ABC$和$\triangle DEA$如图$2$放置,其三边长分别为$a$,$b$,$c$,$\angle ABC=\angle BDE=90^{\circ}$,可得$AC\bot BE$.请用$a$,$b$,$c$分别写出梯形$ABDE$,四边形$ABCE$,$\triangle CDE$的面积,再根据这三个图形面积之间的关系,证明勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
$(2)$若图$1$中$a=3$,$b=4$,图$3$中方格纸中的小正方形的边长为$1$,请你用两种不同的方式将图$1$中两个全等的直角三角形放入图$3$的两个五边形中,并涂上阴影,则图$3\left(1\right)$中空白部分的面积为______$,$图$3\left(2\right)$中空白部分的面积为______,从而得到$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
$(3)$用（2）中$4$个全等的直角三角形拼成如图$4$中的形状,则这个图形外围轮廓（实线）的周长为______.