【概念认识】
定义:如果一个点能与另外两个点构成直角三角形,则称这个点为另外两个点的勾股点.当这个点是直角的顶点时,这个点又称为强勾股点.
如图①,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$A$是$B$,$C$两点的勾股点,$B$是$A$,$C$两点的勾股点,$C$是$A$,$B$两点的勾股点,也是强勾股点.
【概念运用】
$(1)$如图②,方格纸中的每个小正方形的边长均为$1$,$A$,$B$两点均在格点上,线段$CD$上的$8$个格点中,是$A$,$B$两点的勾股点的有______个.
$(2)$如图③,在$\triangle ABC$中,$CD\bot AB$,垂足为$D$,若$AD=2$,$BD=8$,$CD=4$.
求证:$C$是$A$、$B$两点的强勾股点.
【拓展提升】
$(3)$如图④,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=12$,$BC=8$,$D$是$AC$的中点,$P$是射线$BD$上一个动点,当$P$是$Rt\triangle ABC$任意两个顶点的强勾股点时,直接写出$BP$的长.
$(4)$如图⑤,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$\angle B=30^{\circ}$,$AC=1+\sqrt{3}$,$P$、$Q$分别为边$BC$、$AB$上的两个动点,若要使$\triangle APQ$是轴对称图形且$Q$是$B$、$P$两点的勾股点,则$AQ= \_\_\_\_\_\_.$