如图,抛物线$y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx+c$的图象与$y$轴交于点$C$,与$x$轴交于$A$、$B$两点,已知$A\left(-2,0\right)$,$B\left(4,0\right)$,点$Q$为射线$OB$上一点,过点$Q$作$y$轴的平行线,分别交抛物线、直线$BC$于点$D$、$E$.
$(1)$求抛物线的表达式；
$(2)$连接$CD$、$AC$,是否存在$\triangle CDE$与$\triangle ABC$相似,若存在,请求出点$Q$的坐标,若不存在,请说明理由；
$(3)$是否存在以点$C$、$D$、$G$、$E$为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点$D$的坐标,若不存在,请说明理由.