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勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为"几何学的基石".在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽.
$(1)$如图$1$是著名的赵爽弦图,由四个全等的直角三角形拼成,用它可以验证勾股定理,思路是:大正方形的面积有两种求法,一种是等于$c^{2}$,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和,即$\frac{1}{2}ab×4+{(b-a)}^{2}$,从而得到等式$c^{2}=\frac{1}{2}ab×4+{(b-a)}^{2}$,化简便得结论$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法,我们称之为"双求法".现在,请你用"双求法"解决下面问题:
如图$2$,在$\triangle ABC$中,$AD$是$BC$边上的高,$AB=4$,$AC=5$,$BC=6$,设$BD=x$,求$x$的值.
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$(2)2002$年在北京召开的国际数学家大会会标和$2021$年在上海召开的国际数学教育大会会标,都包含了赵爽的弦图.如图$3$,如果大正方形的面积为$18$,直角三角形中较短直角边长为$a$,较长直角边长为$b$,且$a^{2}+b^{2}=ab+10$,那么小正方形的面积为______.
$(3)$勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是______.
$A$.函数思想
$B$.整体思想
$C$.分类讨论思想
$D$.数形结合思想