阅读以下材料:对于三个数$a$,$b$,$c$,用$M\{a,b,c\}$表示这三个数的平均数,用$\min \{a,b,c\}$表示这三个数中最小的数.例如:$M\{-1,2,3\}=\frac{-1+2+3}{3}=\frac{4}{3}$；$\min \{-1,2,3\}=-1$,$\min \{-1,2,a\}=\left\{\begin{array}{l}a&(a≤-1)\\-1&(a＞-1)\end{array}\right.$解决下列问题:
$(1)\min \{\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}\}=$______若$\min \{2,2x+2,4-2x\}=2$,则$x$的范围为______；
$(2)$①如果$M\{2,x+1,2x\}=\min \{2,x+1,2x\}$,求$x$；
②根据①,你发现了结论"如果$M\{a,b,c\}=\min \{a,b,c\}$,那么______(填$a$,$b$,$c$的大小关系）".证明你发现的结论；
③运用②的结论,填空:
若$M\{2x+y+2,x+2y,2x-y\}=\min \{2x+y+2,x+2y,2x-y\}$,则$x+y=\_\_\_\_\_\_.$