定义:两个二次项系数之和为$1$,对称轴相同,且图象与$y$轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如$y=2x^{2}+4x-5$的友好同轴二次函数为$y=-x^{2}-2x-5$.
$(1)$求函数$y=\frac{1}{4}x^{2}-2x+3$的友好同轴二次函数；
$(2)$当$-1\leqslant x\leqslant 4$时,函数$y=\left(1-a\right)x^{2}-2\left(1-a\right)x+3(a\neq 0$且$a\neq 1)$的友好同轴二次函数有最大值$5$,求$a$的值.