如图，在$12×12$的正方形网格中，$\triangle TAB$的顶点分别为$T(1,1)$，$A(2,3)$，$B(4,2).$
$(1)$以点$T(1,1)$为位似中心，按比例尺$(TA'$：$TA)3$：$1$的位似中心的同侧将$TAB$放大为$\triangle TA'B'$，放大后点$A$，$B$的对应点分别为$A'$，$B'$，画出$\triangle TA'B'$，并写出点$A'$，$B'$的坐标；
$(2)$在$(1)$中，若$C(a,b)$为线段$AB$上任一点，写出变化后点$C$的对应点$C'$的坐标．