如图,在菱形$ABCD$中,$AB=2$,$\angle DAB=60^{\circ}$,点$E$是$AD$边的中点.点$M$是$AB$边上一动点（不与点$A$重合）,延长$ME$交射线$CD$于点$N$,连接$MD$、$AN$.
$(1)$求证:四边形$AMDN$是平行四边形；
$(2)$填空:①当$AM$的值为______时,四边形$AMDN$是矩形；
②当$AM$的值为______时,四边形$AMDN$是菱形.