综合与实践.

$(1)$观察发现
如图$1$,在平面直角坐标系中,将顶点都在格点上的$\triangle ABC$进行如下变换后（点$A$,$B$,$C$的对应点分别为${A\’},{B\’},{C\’})$,以$A$,$C$,${A\’}$,${C\’}$为顶点的四边形是平行四边形的是______$.(填写序号)$
①将$\triangle ABC$向左平移$3$个单位长度；
②作$\triangle ABC$关于$x$轴的对称图形；
③将$\triangle ABC$绕点$O$旋转$180^{\circ}$.
$(2)$探究迁移
如图$2$,$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$\angle ACB=30^{\circ}$,点$P$是$BC$上一动点（点$P$不与点$C$重合),将$\triangle ABC$绕点$P$旋转$180^{\circ}$,得到$\triangle DEF$,连接$AP$,$AF$,$CD$.请仅就图$2$的情形解决以下问题:
①判断四边形$AFDC$的形状,并说明理由；
②若点$E$是$BC$的中点,$CD=2\sqrt{3}$,求$AP$的长.
$(3)$拓展应用
如图$3$,在（2）的条件下,$E$在$BC$上,将$\triangle ABC$沿$BC$翻折,得到$\triangle {A\’}BC$.若$AB=6$,当$\triangle DEF$和$\triangle {A\’}BC$重叠部分的面积是$4\sqrt{3}$时,请直接写出$\triangle ABP$的面积.