如图,正方形$ABCD$和正方形$DEFG$有公共顶点$D$.

$(1)$如图$1$,连接$AE$和$CG$,直接写出$AE$和$CG$的关系；
$(2)$如图$2$,连接$AG$,$CE$,点$M$为$AG$中点,连接$DM$,$CE$,探究$DM$,$CE$的关系,并说明理由；
$(3)$如图$3$,当正方形$DEFG$绕点$D$逆时针旋转过程中,连接$CE$,$AE$,若$DE=2$,$CE=m$,当$\angle DEA=15^{\circ}$时$,AE=$______(请用含$m$的式子表示).