在等腰$\triangle OAB$和等腰$\triangle OCD$中,$OA=OB$,$OC=OD$,连接$AC$、$BD$交于点$M$.
$(1)$如图$1$,若$\angle AOB=\angle COD=40^{\circ}$:
①$AC$与$BD$的数量关系为______；
②$\angle AMB$的度数为______.
$(2)$如图$2$,若$\angle AOB=\angle COD=90^{\circ}$:
①判断$AC$与$BD$之间存在怎样的数量关系?并说明理由；
②求$\angle AMB$的度数.