如图,射线$OA$与函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,\,x＞0)$图象相交于点$A(1,\;\sqrt{3})$,以点$O$为圆心,以适当长为半径作弧,分别与$OA$,$OB$相交于点$M$,$N$；再分别以点$M$,$N$为圆心,以大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在$\angle AOB$内部相交于点$P$,作射线$OP$,交函数$y=\frac{k}{x}$图象于点$C$,连接$AC$,则$\triangle AOC$的面积是______.