先阅读下列材料,再解答下列问题:
材料:因式分解:$\left(x+y\right)^{2}+2\left(x+y\right)+1$.
解:将"$x+y$"看成整体,设$x+y=A$,则,原式$=A^{2}+2A+1=\left(A+1\right)^{2}$.
再将"$A$"还原,得原式$=\left(x+y+1\right)^{2}$.
上述解题用到的是"整体思想","整体思想"是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:
$(1)$因式分解:$\left(a+b\right)\left(a+b-4\right)+4$；
$(2)$求证:若$n$为正整数,则式子$\left(n+1\right)\left(n+2\right)(n^{2}+3n)+1$的值一定是某一个整数的平方.