如图①是古代的一种远程投石机,其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分.据《范蠡兵法》记载:"飞石重二十斤,为机发,行三百步",其原理蕴含了物理中的"杠杆原理".
在如图②所示的平面直角坐标系中,将投石机置于斜坡$OA$的底部（原点$O$处),石块从投石机竖直方向上的点$C$处被投出,在斜坡上的点$A$处建有垂直于水平面的城墙$AB$.已知,石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是$\left(50,25\right)$,$OC=5$,$OD=75$,$AD=12$,$AB=9$.
$(1)$求抛物线的表达式；
$(2)$通过计算说明石块能否飞越城墙$AB$；
$(3)$分别求出$0\leqslant x\leqslant 37.5$和$37.5 \lt x\leqslant 75$时,石块与斜坡$OA$在竖直方向上的最大距离.