在平面直角坐标系中,点$A$在$x$轴负半轴上,点$B$在$y$轴负半轴上,$\angle ABC=90^{\circ}$,$BC=AB$.
$(1)$如图$1$,$A\left(-5,0\right)$,$B\left(0,-2\right)$,点$C$在第一象限,请直接写出$C$的坐标.
$(2)$如图$1$,$B\left(0,-2\right)$,$BF\bot y$轴,$D$在$y$轴上,$BD=\frac{1}{2}AO$,连接$CD$并延长交$BF$于点$E$,请求出$BE$的长度；
$(3)$如图$2$,$A\left(-n,0\right)$,$H$在$AC$延长线上,过$H\left(m,n\right)$作$HG\bot x$轴于$G$,探究线段$BH$、$AG$、$BO$之间的数量关系,并证明你的结论.