如图,在平面直角坐标系中,将抛物线$C_{1}$:$y=x^{2}$绕原点$O$顺时针旋转$180^{\circ}$后得到$C_{2}$,向右平移$4$个单位,向上平移$2$个单位得到$C_{3}$.点$A$为$C_{3}$的顶点,作直线$OA$.点$Q\left(0,m\right)$为平面内一动点,将点$Q$向上平移两个单位长度得到点$B$,过点$B$作垂交直线$OA$于点$C$,以$BC$、$BQ$为边构造矩形$BQCD$.设$C_{1}$、$C_{2}$、$C_{3}$的图象为$G$.当矩形$BQCD$与图象$G$有三个公共点时,$m$的取值范围为______.