如图,在矩形$ABCD$中,$AB=2$,$BC=4$,$E$,$F$,$G$,$H$四点一次是边$AB$,$BC$,$CD$,$DA$上一点（不与各顶点重合),且$AE=AH=CG=CF$,记四边形$EFGH$面积为$S(图中阴影)$,$AE=x$.
$(1)$求$S$关于$x$的函数表达式,并直接写出自变量的取值范围.
$(2)$求$x$为何值时,$S$的值最大,并写出$S$的最大值.