已知抛物线$G:y=ax^{2}-3amx-4am^{2}($其中$a \gt 0,m \gt 0)$与$x$轴交于$A$、$B$两点$(A$在$B$左边）,与$y$轴交于点$C$,顶点为$P$,$O$为坐标原点且$OC=2OA$.
$(1)$求$a$与$m$满足的关系式；
$(2)$直线$AD$∥$BC$,与抛物线$G$交于另一点$D$,若$\triangle ADP$的面积为$\frac{105}{32}$,求$a$的值；
$(3)$在（2）的条件下,将抛物线$G$平移后得到抛物线${G\’}$,${G\’}$的顶点为点$O$,$M$、$N$为抛物线${G\’}$上两点,分别过$M$、$N$且与抛物线${G\’}$仅有一个公共点的两条直线交于点$H$,若点$H$在直线$y=\frac{\sqrt{5}}{3}x-1$上,求证:直线$MN$恒过定点.