在学习完第十二章后,老师让同学们独立完成课本$56$页第$12$题:如图$1$,在$\triangle ABC$中,$AD$是它的角平分线.求证:$S_{\triangle ABD}$:$S_{\triangle ACD}=AB:AC$.

$(1)$请你完成这道题；
$(2)$第二天,老师又给这道题,添加了一个已知条件,即在$\triangle ABC$中,$AD$是它的角平分线,且$\angle C=2\angle B$,如图$2$,请同学们去探究线段$AB$、$AC$、$CD$三者的数量关系,爱动脑的小李同学,发现:$AB=AC+CD$,请你帮他完成证明过程.