已知,$\triangle ABC$中,$CA=CB$,$\angle ACB=90^{\circ}$,一直线过顶点$C$,过$A$,$B$分别作其垂线,垂足分别为$E$,$F$.
$(1)$如图$1$,求证:$EF=AE+BF$；
$(2)$如图$2$,请直接写出$EF$,$AE$,$BF$之间的数量关系______；
$(3)$在（2）的条件下,若$BF=3AE$,$EF=4$,求$\triangle BFC$的面积.