小明根据学习一次函数的经验,对函数$y=|x+1|+k$的图象与性质进行了探究.小明的探究过程如下:
列表:

$x$	$\ldots$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$		$1$			$2$			$3$			$4$		$\ldots$
$y$	$\ldots$	$4$	$3$	$2$	$1$	$2$		$3$			$4$			$5$			$m$		$\ldots$

$(1)$求$m$和$k$的值；
$(2)$以自变量$x$的值为横坐标,相应的函数值$y$为纵坐标,建立平面直角坐标系,请描出表格中的点,并连线；
$(3)$根据表格及函数图象,探究函数性质:
①该函数的最小值为______；
②当$x \gt -1$时,函数值$y$随自变量$x$的增大而______$(填"增大"或"减小")$；
③若关于$x$的方程$|x+1|=b-1$有两个不同的解,则$b$的取值范围为______.