小明同学根据函数的学习经验,对函数$y=|x-2|+|x+4|$进行了探究,下面是他的探究过程:
$(1)$已知当$x=-4$时,$|x+4|=0$；当$x=2$时,$|x-2|=0$,化简:
①当$x \lt -4$时,$y=$______；
②当$-4\leqslant x\leqslant 2$时,$y=$______；
③当$x \gt 2$时,$y=\_\_\_\_\_\_.$
$(2)$在平面直角坐标系中画出$y=|x-2|+|x+4|$的图象,根据图象写出该函数的一条性质:______.
$(3)$根据上面的探究解决下面问题:
已知$P\left(a,0\right)$是$x$轴上一动点,$A\left(-4,6\right)$,$B\left(2,6\right)$,则$AP+BP$的最小值是______.