如图,在平面直角坐标系中,$O$为坐标原点,$\triangle ABC$的边$BC$在$x$轴上（点$B$在点$C$的左侧),点$B$,$C$的坐标分别为$B\left(-12,0\right)$,$C\left(8,0\right)$,点$A$在$y$轴正半轴上,且$OA=\frac{1}{2}OB$,点$P$是射线$BO$上一动点.
$(1)$点$A$的坐标是______；
$(2)$连接$AP$,若$\triangle ABP$的面积为$30$,求点$P$的坐标；
$(3)$当点$P$在线段$BO$上运动时,在$y$轴负半轴上是否存在点$Q$使$\triangle POQ$与$\triangle AOC$全等?若存在,请求出点$Q$的坐标；若不存在,请说明理由；
$(4)$当点$P$在射线$BO$上运动时,若$\triangle APC$是等腰三角形,请直接写出点$P$的坐标.