在平面直角坐标系中,点$O$为坐标原点,抛物线$y=-x^{2}+bx+1(b$为常数）的顶点坐标为$\left(1,2\right)$,抛物线与$y$轴相交于点$A$,点$P$在此抛物线上,其横坐标$m$,该抛物线在$A$,$P$两点之间的部分（包括$A$,$P$两点）记为图象$G$.
$(1)$求该抛物线对应的函数表达式；
$(2)$当图象$G$与$x$轴有交点时,求$m$的取值范围；
$(3)$设图象$G$的最高点与最低点的纵坐标之差为$a$,横坐标之差为$b$,当$a=3b$时,求$m$的值；
$(4)$过点$P$作$PQ\bot y$轴,交抛物线于点$Q$,连接$AQ$,以$AQ$和$PQ$为邻边构造▱$AQPM$,若图象$G$与▱$AQPM$的边有交点（不包括▱$AQPM$的顶点）,交点记为$N$,当▱$AQPM$的面积被直线$QN$分成$1:3$的两部分时,直接写出$m$的值.