如图$1$,$\triangle ABC$是等腰直角三角形,$\angle BAC=90^{\circ}$,$BC=5cm$,$D$是$BC$的中点,点$P$从$A$点出发,以$2cm/s$的速度沿着射线$CA$方向运动,连接$PD$交$AB$于点$E$,过点$D$作$PD$的垂线交直线$AC$于点$F$,交直线$AB$于点$G$,若运动时间为$t\left(s\right)$.
$(1)$当$t=1.5$时,则$BG=\_\_\_\_\_\_cm$；
$(2)$在点$P$的运动过程中,试探究线段$PF$与$EG$的数量关系,并说明理由；
$(3)$如图$2$,连接$EF$,$EF$上是否存在点$H$使得$\triangle DCF$与$\triangle FAH$全等,若存在,求出此时$t$的值；若不存在,请说明理由.