如图,在平行四边形$ABCD$中,$\angle BDC=90^{\circ}$,$E$是$AD$边上一点,延长$BE$与$CD$的延长线交于点$F$,连接$AF$.
$(1)$请从下列条件中选择一个能证明四边形$ABDF$是矩形的条件,并写出证明过程；
①$AE=DE$；②$BF=BC$；③$AE=BE$.
$(2)$若四边形$ABDF$是矩形,且$AB=3$,$AD=5$,求四边形$ABCF$的面积.