学校组织七年级和八年级学生去公园进行研学活动.如图所示,公园有东、西两个入口,入口$A$在入口$B$的正西方向,七年级学生从入口$A$处出发,沿北偏东$53^{\circ}$方向前往游乐场$D$处；八年级从入口$B$处出发,沿正北方向行走$150$米到达$C$处,再沿北偏西$67.4^{\circ}$方向前往游乐场$D$处与七年级汇合,若两个年级所走的路程相同,求公园入口$A$与游乐场$D$之间的距离.(结果保留整数,参考数据:$\sin 22.6^{\circ}\approx \frac{5}{13}$,$\cos 22.6^{\circ}\approx \frac{12}{13}$,$\tan 22.6^{\circ}\approx \frac{5}{12}$,$\sin 37^{\circ}\approx \frac{3}{5}$,$\cos 37^{\circ}\approx \frac{4}{5}$,$\tan 37^{\circ}\approx \frac{3}{4})$