阅读理解:
材料一:对于任意实数$a$,我们规定$\left[a\right]$表示不大于$a$的最大整数.例如:$\left[-1.4\right]=-2.\left[5.7\right]=5$,$\left[3\right]=3$.
材料二:对于任意实数$x$,$y$,我们定义一种新运算$M\left(x,y\right)=2x+3y$,等式右边是通常的四则运算,由这种运算得到的数我们称之为线性数,记为$M\left(x,y\right)$,其中$x$,$y$叫做线性数的一个数对.
$(1)\left[\pi \right]=\_\_\_\_\_\_,M\left(3,4\right)=\_\_\_\_\_\_$；
$(2)$如果$[\frac{x+2}{3}]=5$,求满足条件的所有整数$x$；
$(3)$若线性数$M(\frac{1}{2}\left[5x-2\right],-x)$的值为$1$,求$x$的值.