如图,一艘轮船位于灯塔$P$的南偏东$60^{\circ}$方向,距离灯塔$50$海里的$A$处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔$P$的北偏东$45^{\circ}$方向上的$B$处.
$(1)B$处与灯塔$P$的距离为多少海里；
$(2)AB$为多少海里（结果保留根号).