护林员在一个斜坡上的点$A$处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地$AB$进行浇灌,$OA=10m$,点$A$处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形.已知水柱在距出水口$A$的水平距离为$6m$时,达到距离地面$OB$的竖直高度的最大值为$13m$.设喷出的水柱距出水口的水平距离为$x\left(m\right)$,距地面的竖直高度为$y\left(m\right)$,以坡底$B$所在的水平方向为$x$轴,$A$处所在的竖直方向为$y$轴建立平面直角坐标系,原点为$O$,如图所示.经过测量,可知斜坡$AB$的函数表达式近似为$y=-\frac{1}{2}x+10$.
$(1)$求图中水柱所在抛物线的函数表达式；
$(2)$若该装置浇灌的最远点$C$离地面的竖直高度为$1m$,求此时喷到$C$处的水柱距出水口的水平距离.
$(3)$给该浇灌装置安装一个支架,可调节浇灌装置的高度,则水柱恰好可以覆盖整个坡地$AB$时,安装的支架的高度为多少米?