若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内,则称该一元一次方程为该不等式组的"友好方程",例如:方程的$2x-4=0$解为$x=2$.不等式组$\left\{\begin{array}{c}x-1＞0\\ x＜5\end{array}\right.$的解集为$1 \lt x \lt 5$.因为$1 \lt 2 \lt 5$.所以称方程$2x-4=0$为不等式组$\left\{\begin{array}{c}x-1＞0\\ x＜5\end{array}\right.$,的"友好方程".
$(1)$请你写出一个方程______,使它和不等式组$\left\{\begin{array}{c}2x-2＞x-1\\ 3(x-2)-x≤4\end{array}\right.$为"友好方程"；
$(2)$若关于$x$的方程$2x-k=4$是不等式组$\left\{\begin{array}{c}3x+1＞2x\\ 3(x-1)≥2(2x+1)-10\end{array}\right.$的"友好方程",求$k$的取值范围；
$(3)$若关于$x$的方程$x+3-4m=0$是关于$x$的不等式组$\left\{\begin{array}{c}x+3m＞3m\\ x-m≤2m+1\end{array}\right.$的"友好方程",且此时不等式组有$3$个整数解,试求$m$的取值范围.