法国数学家费尔马早在$17$世纪就研究过形如$x^{2}+y^{2}=z^{2}$的方程,显然,这个方程有无数组解.我们把满足该方程的正整数的解$\left(x,y,z\right)$叫做勾股数,如$\left(3,4,5\right)$就是一组勾股数.
$(1)$在研究勾股数时,古希腊的哲学家柏拉图曾指出:如果$n$表示大于$1$的整数,$x=2n$,$y=n^{2}-1$,$z=n^{2}+1$,那么,以$x$,$y$,$z$为三边的三角形为直角三角形（即$x$,$y$,$z$为勾股数）,请你加以证明；
$(2)$探索规律:观察下列各组数$\left(3,4,5\right)$,$\left(5,12,13\right)$,$\left(7,24,25\right)$,$\left(9,40,41\right)\ldots$,直接写出第$6$个数组.