已知:满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的三个正整数$a$,$b$,$c$称为一组勾股数,很多勾股数组具有规律:
$(1)$设$a \lt b \lt c$,观察提供的$4$组勾股数的规律,完成第⑤组勾股数:
当$a$为奇数时,如①$3$,$4$,$5$；②$5$,$12$,$13$；③$7$,$24$,$25$；④$9$,$40$,$41$,⑤$11$,______,______；
当$a$为偶数时,如①$6$,$8$,$10$；②$8$,$15$,$17$；③$10$,$24$,$26$；④$12$,$35$,$37$,⑤$14$,______,______；
$(2)$若$a=2n$,$b=n^{2}-1$,$c=n^{2}+1$,$n$为正整数,且$n\geqslant 3$,求证:不论$n$为何值,$a$,$b$,$c$都是勾股数组.