21. 综合与实践.

【发现问题】“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子。爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化。

【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？

【分析问题】小图结合实际操作和计算得到下表所示的数据：

第一层杯子的个数 $x$	1	2	3	4	5	$\cdots$
杯子的总数 $y$	1	3	6	10	15	$\cdots$

然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分：为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式.

【解决问题】

（1）直接写出y与x的关系式：

（2）现有28个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；

（3）杯子的侧面展开图如图4所示，ND，MA分别为上、下底面圆的半径， $ND//MA$，AB所对的圆心角 $\angle AOB=120^{\circ}$，OA=18cm，OD=8cm。将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过108cm，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数。



图1



图2



图3



图4