如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A\left(-3,5\right)$,$B\left(0,5\right)$.抛物线$y=-x^{2}+bx+c$交$x$轴于$C\left(1,0\right)$,$D\left(-3,0\right)$两点,交$y$轴于点$E$.
$(1)$求抛物线的解析式；
$(2)$当$-4\leqslant x\leqslant 0$时,求$y$的最小值；
$(3)$连接$AB$,若二次函数$y=-x^{2}+bx+c$的图象向上平移$m\left(m \gt 0\right)$个单位时,与线段$AB$有一个公共点,结合函数图象,直接写出$m$的取值范围.